求e的（-sx)次方乘以x的n次方在0到正无穷上的定积分.（n为实数）

题目

求e的（-sx)次方乘以x的n次方在0到正无穷上的定积分.（n为实数）

答案

a=∫[0,+∞]e^(-sx)x^ndx=-1/s*∫[0,+∞]x^nde^(-sx)
=-1/s*[0,+∞]x^ne^(-sx)+n/s∫[0,+∞]e^(-sx)x^(n-1)dx
=n/s∫[0,+∞]e^(-sx)x^(n-1)dx
所以a=na/s
a<0>=1/s
所以
a/a=n/s
a/a=(n-1)/s
……
a<1>/a<0>=1/s
相乘
a/a<0>=n!/s^n
所以a=n!/s^(n+1)