已知向量OA=(-3,1),向量OB=(1,3),在直线y=x+4上是否存在点P,使向量PA·向量PB=0?若存在,求出点P的坐标；做不存在,说明理由.

题目

已知向量OA=(-3,1),向量OB=(1,3),在直线y=x+4上是否存在点P,使向量PA·向量PB=0?若存在,求出点P的坐标；做不存在,说明理由.

答案

设存在满足条件的点P,则点P的坐标可写成（m,m＋4）.
∴向量PA＝（m＋3,m＋3）,　向量PB＝（m－1,m＋1）.
∴向量PA·向量PB＝（m＋3）（m－1）＋（m＋3）（m＋1）＝2m（m＋3）＝0,
∴m＝0,或m＝－3.
当m＝0时,m＋4＝4.　当m＝－3时,m＋4＝1.
∴满足条件的点P的坐标是（0,4）或（－3,1）.