已知：三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线,AB的垂直平分线交AD与点O,角B的平分线交AD于点I.求证;OA=OB=OC,I到BC,CA,AB的距离相等

题目

已知：三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线,AB的垂直平分线交AD与点O,角B的平分线交AD于点I.求证;OA=OB=OC,I到BC,CA,AB的距离相等

答案

(1)连接OB、OC
在△AOB和△AOC中,
∵AB=AC（等腰△）
∠BAO=∠OAC（等腰△三线合一）
AO为公共边
∴△AOB≌△AOC（SAS）
∴0B=OC
在△AOE和△BOE中,（E为AB边上的垂直平分点）
∵AE=EB（垂直平分线）
∠AEO=∠BEO
OE为公共边
∴△AOE≌△BOE（SAS）
∴OA=OB
又∵0B=OC（已证）
∴OA=OB=OC
(2)过I做AB、AC边上的垂线分别交其于P、Q点
在△PAI和△AIQ中,
∵∠API=∠AQI=90°
∠PAI=∠QAI（等腰△三线合一）
AI为公共边
∴△PAI≌△AIQ（AAS）
∴PI=QI
在△PBI和△BID中,
∠BPI=∠IDB=90°
∠PBI=∠IBD（BI为角平分线）
BI为公共边
∴△PBI≌△BID
∴PI=ID
又∵PI=QI
∴PI=QI=DI