已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x，（a为常数，e为自然对数的底）． （Ⅰ）若函数f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g

题目

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a为常数，e为自然对数的底）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（x），试判断曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

答案

（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]=e-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，得x=0或x=2-a，当a=2时，f'（x）=-x2e-x≤0恒成立，此时f（x）单调递减；当a＜2时，f'（x）＜0时，2-a＞0，若...

（I）求出导函数的两个根，就两根的大小分类讨论，在各类中判断根左右两边的导函数正负，据极值的定义求出极小值．
（II）借助（I）求出极大值g（x），求出g（x）的导函数g′（x），据导数的几何意义，g′（x）的范围即为切线斜率的范围，再通过g′（x）的导数研究g′（x）的单调性，判断出g′（x）范围即切线斜率的范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．

考点点评：本题考查利用导数求函数的极值、导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线斜率，注意：在利用导数研究函数是，往往需要讨论．