如图,四边形ABCD中,AD⊥AB,BC⊥AB,BC=2AD,DE⊥CD交AB边于E,连接CE.请找出DE、AE、CE之间的等量关系并加以证明.
题目
如图,四边形ABCD中,AD⊥AB,BC⊥AB,BC=2AD,DE⊥CD交AB边于E,连接CE.请找出DE、AE、CE之间的等量关系并加以证明.
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答案
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关系式DE
2=AE•CE.
证明:延长BA、CD交于O,
∵AD⊥AB,BC⊥AB,
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
∴△ODA∽△OCB.
∴
==(相似三角形对应边成比例)即OD=DC.
在△EDO与△EDC中,
,
∴△EDO≌△EDC(SAS).
∴∠O=∠1.
又∵∠O+∠AED=∠ADE+∠AED=90°(互余),
∴∠O=∠ADE.
∴∠1=∠ADE.
∴Rt△DAE∽Rt△CDE,
∴
=(相似三角形对应边成比例).
即DE
2=AE•CE.
要求DE、AE、CE的关系,就需要得出三角形DAE和DEC相似,这两个三角形中已知的条件有一组直角,如果再证得一组对应角相等就能得出相似的结论,我们可通过构建全等三角形来实现.证明延长BA、CD交于O,AD、BC同时垂直AB,因此AD∥
BC,又根据BC=2AD,那么我们可得出OD=CD,又已知了ED⊥OC,一条公共边DE,那么三角形ECD和EOD全等,那么∠AED=∠CED,这样就构成了上面所说的三角形DAE和DEC相似的条件,那么两三角形相似,这样就得出了ED、AE、CE的比例关系.
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定;直角三角形全等的判定.
本题主要考查了全等三角形的判定,相似三角形的判定等知识点,本题中通过构建全等三角形来得出角相等是解题的关键.
举一反三
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