到两定点O,A距离的比为任意一个常数k（k>0）的动点M的轨迹方程是什麽?是什麽曲线?

题目

到两定点O,A距离的比为任意一个常数k（k>0）的动点M的轨迹方程是什麽?是什麽曲线?

答案

设AB距离是2a
以中点为原点,OA为x轴建立坐标系
则A(-a,0),O(a,0)
M(x,y)
则[(x-a)^2+y^2]/[(x+a)^2+y^2]=k^2
(x-a)^2+y^2=k^2(x+a)^2+k^2y^2
(k^2-1)x^2+4ak^2x+(k^2-1)y^2=0
若k=1
则4ax=0
则x=0,就是OA的垂直平分线
若k不等于1
x^2+4ak^2x/(k^2-1)+y^2=0
[x+2ak^2/(k^2-1)]^2+y^2=4a^2k^4/(k^2-1)^2
是一个圆