若不等式|x+1|+|x-3|≥a+4/a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_．

题目

若不等式|x+1|+|x-3|≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．

答案

由于|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，不等式|x+1|+|x-3|≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立，
∴4≥a+

4

a

，∴a＜0 或

a＞0 a2−4a+4≤0

，解得a＜0，或a=2，
故答案为：（-∞，0）∪{2}．

由条件利用绝对值三角不等式求得|x+1|+|x-3|≥4，结合题意可得4≥a+

4

a

，可得a＜0 或

a＞0 a2−4a+4≤0

，由此解得a的范围．

本题考点：绝对值不等式的解法．

考点点评：本题主要考查绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．