过水断面面积一定为S（一个上长下短的等腰梯形）形状是底角大小为定值a,求湿周长最短值

题目

过水断面面积一定为S（一个上长下短的等腰梯形）形状是底角大小为定值a,求湿周长最短值
湿周指过水断面与河床的接触部分.
2根号S（2-cosa）除以sina

答案

简单说,湿周就是那个等腰梯形除开上面的那个边后的周长
梯形面积为S
设腰长为m,下底为k,底角大小为定值a
高为：m*sina
显然,上底边为：k+2mcosa
则面积为：
S=1/2*(k+k+2mcosa)*m*sina
解得：
S=(k+mcosa)*m*sina
k=S/m*sina -mcosa
而湿周为：k+2m
即
k+2m=S/(msina) -mcosa+2m
=S/(msina) +(2-cosa)m
因为S/(msina) ,(2-cosa)m均为正数.由重要不等式
a+b≥2√ab 得
≥2√（S（2-cosa）/sina
等号在S/(msina) =(2-cosa)m 时成立
所以最大湿周：
2根号S（2-cosa）除以sina