与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB,CC1,A1D1所在直线的距离相等的点有多少个.解析··谢·

题目

与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB,CC1,A1D1所在直线的距离相等的点有多少个.解析··谢·

答案

将此正方体放到空间直角坐标系中,不妨假设正方体棱长为a(a>0),题中所述三条直线的方程为：
L1 (AB):x=0,z=a;
L2 (CC1):x=y=a;
L3 (A1D1):x=z=0.
假设空间中一点P(x,y,z)到三条直线的距离可以表示为：
d1=根号下[x^2+(z-a)^2]
d2=根号下[(x-a)^2+(y-a)^2]
d3=根号下[x^2+z^2]
等距要求d1=d2=d3.
可以先用d1=d3解得z=a/2.
然后利用d1=d2或d2=d3可以解得
x=(y-a)^2/(2a)+3a/8
即到题目要求的三条直线等距的点的轨迹是平面z=a/2上的一条抛物线,
所以满足题目要求的点的个数为无数个.
很久没有解方程了,不知道算得对不对.
不过无论如何,思路就是这样了.