若干个整数的和能被6整除,证明这些数的立方和也能被6整除

题目

若干个整数的和能被6整除,证明这些数的立方和也能被6整除

答案

由费马小定理,对于任意x有
x^3 = x (mod 3)
x^3 = x (mod 2)
所以
x^3 = x (mod 6)
所以
∑ai = ∑(ai)^3 (mod 6)
也就是若干个整数和被6除的余数与他们立方和被6除的余数相等
所以
若干个整数的和能被6整除,这些数的立方和也能被6整除