若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是 _ ．

题目

若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是 ___ ．

答案

设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr=

1

3

πl，得l=6r，
S=πr²+πr•6r=7πr²=15π，得r=

15 7

，圆锥的高h=

l2-r2

=

35

r
即h=

35

•

15 7

，V=

1

3

πr2h=

1

3

π×

15

7

×

35

×

15 7

=

25 3

7

π．
故答案为：

25 3

7

π．

设圆锥的底面半径为r，母线为l，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．

本题考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题是基础题，正确利用圆锥的底面周长就是展开图的弧长，是本题的突破口，是难点所在，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．