若多项式x^2+ax-12,能分解成两个整系数的一次因式的乘积,试确定符合条件的整数a的值.

题目

若多项式x^2+ax-12,能分解成两个整系数的一次因式的乘积,试确定符合条件的整数a的值.

答案

由已知,不妨设：x²+ax-12=(x+m)(x+n),其中：m、n为整数.
有：x²+ax-12=x²+(m+n)x+mn
得：
m+n=a……………………(1)
mn=-12……………………(2)
由韦达定理,知m、n是方程y²-ay-12=0的解
y²-ay-12=0
y²-2×(a/2)y+(a/2)²-(a/2)²-12=0
(y-a/2)²=(a/2)²+12
(y-a/2)²=(a²+48)/4
y=[a±√(a²+48)]/2
可见,必有：a±√(a²+48)为偶数
不妨设：a±√(a²+48)=2k,k∈N
(a-2k)²=[±√(a²+48)]²
a²-4ak+4k²=a²+48
-4ak+4k²=48
a=(k²-12)/k
当k=±1时,a=±11
当k=±2时,a=±4
当k=±3时,a=±1
当k=±4时,a=±1
当k=±5时,a=±23/5
显然,当|k|＞4时,a都将不再是整数.
故,可能的a值是：±1、±4、±11.