如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流 的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测

题目

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（　　）
A. （2

7

-2）a万元
B. 5a万元
C. （2

7

+1）a万元
D. （2

3

+3）a万元

答案

依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2-y23=1，点C的坐标为（3，3）．则修建...

依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2−

y2

3

＝1，点C的坐标为（3，

3

）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有 |MM1|＝

1

2

|MB|，根据a+b ≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．

本题考点：双曲线的应用．

考点点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用a+b ≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法来求函数的最小值的能力．