已知：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB． 求证：AG⊥AF．

题目

已知：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB．
求证：AG⊥AF．

答案

证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∵∠EOB=∠DOC，∠ABF+∠EOB+∠BEO=180°，∠ACG+∠CDO+∠DOC=180°，
∴∠ABF=∠ACG，
在△ABF和△GCA中，

AB＝CG ∠ABF＝∠ACG BF＝AC

，
∴△ABF≌△GCA，
∴∠G=∠BAF，
∵∠GEA=∠CEB=90°，
∴∠G+∠GAB=90°，
∴∠BAF+∠GAB=90°，
∴∠GAF=90°，
∴AG⊥AF．

根据垂直求出∠BEO=∠CDO=90°，根据三角形的内角和定理求出∠ABF=∠ACG，推出△ABF≌△GCA，根据全等三角形的性质得出∠G=∠BAF即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABF≌△GCA，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．