正交矩阵的一个证明题

题目

正交矩阵的一个证明题
a是n维实列向量,a不等于0,矩阵A=E-kaaT,k为非零常数,则A为正交矩阵的充分必要条件为k=?
求详细思路.

答案

设b=aTa,注意aTa为一个数字.A为正交矩阵==>AAT=E而AAT=(E-kaaT)(E-kaaT)T 注意到ET=E,(aaT)T=aaT=(E-kaaT)(E-kaaT)=E-2kaaT+k^2aaTaaT 注意,中间那个aTa为常数b=E-2kaaT+bk^2aaT=E+(bk^2-2k)aaT此结果若要等于E,则必...