在角abc中,ab=ac,p是bc上一点,求AB平方=PA平方+PB×PC

题目

在角abc中,ab=ac,p是bc上一点,求AB平方=PA平方+PB×PC

答案

过点A作AH⊥BC于H.
则 AH 是等腰△ABC底边上的高,可得：BH = CH ；
AB² = AH²+BH² = PA²-PH²+BH² = PA²+(BH+PH)×(BH-PH) ,
分三种情况讨论：
① 若P在BH上,则 AB² = PA²+(CH+PH)×(BH-PH) = PA²+PB×PC ；
② 若P在CH上,则 AB² = PA²+(BH+PH)×(CH-PH) = PA²+PB×PC ；
③ 若P和点H重合,则 AB² = PA²+(BH+PH)×(CH-PH) = PA²+BH×CH = PA²+PB×PC ；
综上可得：AB² = PA²+PB×PC .