1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+5的平方+6的平方+.n的平方=?

题目

1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+5的平方+6的平方+.n的平方=?
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答案

n(n+1)(2n+1)/6
用归纳法证明:
1）当n=1时,1^2=1*2*3/6=1,等式成立.
2）假设n=k时,1^2+2^2+3^2.+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立.
那么：
1^2+2^2+3^2.+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)/6*[k(2k+1)+6(k+1)]
=(k+1)/6*(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
等式也成立.
3）因为n=1等式成立,所以
1^2+2^2+3^2.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
恒成立