已知sinΦ=asinω,tanΦ=btanω,其中Φ为锐角,求证cosΦ=根号下(a^2-1)/(b^2-1)

题目

已知sinΦ=asinω,tanΦ=btanω,其中Φ为锐角,求证cosΦ=根号下(a^2-1)/(b^2-1)

答案

sinΦ=asinω 平方
sin^2Φ=a^2sin^2ω=a^2(1-cos^2ω)=a^2-a^2cos^2ω
1-cos^2Φ=a^2-a^2cos^2ω
cos^2Φ=1-a^2+a^2cos^2ω 1
tanΦ=sinΦ/cosΦ=btanω=bsinω/cosω
asinω/cosΦ=bsinω/cosω
cosω=bcosΦ/a 2
2式代入1式得
cos^2Φ=1-a^2+a^2b^2cos^2Φ/a^2=1-a^2+b^2cos^2Φ
(1-b^2)cos^2Φ=1-a^2
cos^2Φ=(1-a^2)/(1-b^2)=(a^2-1)/(b^2-1)
因为Φ为锐角
所以cosΦ=√[(a^2-1)/(b^2-1)]