已知双曲线C经过P1（2,3）,P2（根号2,根号3）两点.

题目

已知双曲线C经过P1（2,3）,P2（根号2,根号3）两点.
1,求双曲线C的方程.
2,若P是该双曲线左支上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积S.

答案

x^2/a^2-y^2/b^2=1
带入P1、P2两点解出a^2和b^2得
双曲线C：x^2/1-y^2/3=1
设P(x0,y0)
则S△F1PF2=1/2*|y0|*4=2|y0|
P(x0,y0)满足两个方程
x0^2/1-y0^2/3=1………………………………………………………………………………1
由 ∠F1PF2=60° 得 |F1P|*|PF2|*cos60°=向量F1P*向量PF2
即 根号((x0-2)^2+y0^2)*根号((x0-2)^2+y0^2)*cos60°=(x0-2)(x0+2)+y0^2………………2
联立式1、2可解得|y0|=1.5倍根号3（其中另一个解|y0|=0.5倍根号3舍去,因为∠F1PF2=60°
是锐角,所以要选较大的|y0|）
So,S△F1PF2=1/2*|y0|*4=2|y0|=3倍根号3
其中便有 双曲线焦点三角形面积公式
若∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b^2*cot（θ/2)或S△F1PF2=b^2*/tan(θ/2)