设函数f(x)=x^(1/x),(x>1),求f(x)的最大值
题目
设函数f(x)=x^(1/x),(x>1),求f(x)的最大值
答案
记y=x^(1/x)
两边取对数得lny=lnx/x
同时对x求导得y`/y=(1-lnx)/x^2
所以y`=(1-lnx)y/x^2
其中y=x^(1/x).
因为x>1,所以y>1,所以10;x>e时y`<0
故y=f(x)的最大值在x=e时取到,即f(e)=e^(1/e)
此即最大值.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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