二阶 变系数 微分方程

题目

二阶 变系数 微分方程
T‘’+1/rT'+b=0
边界条件r = ro时,冷却条件决定的棒表面温度T( ro),求得
T(r)=T(ro)+b/4(ro2-r2)

答案

先解方程T‘’+(1/r)T'=0
设y=T' ,那么y'+y/r=0 解得：y=C1/r
T=∫C1/r dr =C1lnr+C2
设T=Ar^2,代入原方程：2A+2A+b=0,A=-b/4
T(r)=C1lnr+C2-(b/4)r^2
T( ro)=C1lnro+C2-(b/4)ro^2
T(r)=T(ro)+C1ln(r/ro)+b/4(ro^2-r^2)
在边界条件r = ro时,冷却条件决定的棒表面温度T( ro),这时T‘( ro)=0
C1=0
T(r)=T(ro)+b/4(ro^2-r^2)