如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是_．

题目

如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是______．

答案

设CE=x，S_△BEF=a，
∵CE=x，BE：CE=2：1，
∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；
∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，
又∵∠BFE=∠DFA；
∴△EBF∽△ADF
∴S_△BEF：S_△ADF=(

BE

AD

)2=(

2x

3x

)2=

4

9

，那么S_△ADF=

9

4

a．
∵S_△BCD-S_△BEF=S_{四边形EFDC}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF，
∴

9

2

x²-a=9x²-

1

2

×3x•2x-

9

4

a，
化简可求出x²=

5

6

a；
∴S_△AFD：S_{四边形DEFC}=

9

4

a：(

9

2

x2−a)=

9

4

a：

11

4

a=9：11，故答案为9：11．