如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动,设移动时间为t(单位:s). (1)当t为何值时,⊙P与AB相切; (2)作P
题目
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动,设移动时间为t(单位:s).
(1)当t为何值时,⊙P与AB相切;
(2)作PD⊥AC交AB于点D,如果⊙P和线段BC交于点E,证明:
当
t=s时,四边形PDBE为平行四边形.
答案
(1) 当⊙P在移动中与AB相切时,
设切点为M,连接PM,则∠AMP=90°,
∴△APM∽△ABC,
∴
=,
∵AP=t,AB=
=5,
∴
=,
∴
t=.(4分)
(2)证明:∵BC⊥AC,PD⊥AC,
∴BC∥DP,
当
t=s时,AP=
,
∴PC=4-
=,
∴EC=
==∴BE=BC-EC=3-
=,
∵△ADP∽△ABC,
∴
=,
∴
=,
∴PD=
,
∴PD=BE,
∴当t=
s时,四边形PDBE为平行四边形.
(1)当⊙P在移动中与AB相切时,设切点为M,连接PM,根据△APM∽△ABC可求得t的值;
(2)由BC⊥AC,PD⊥AC,易得BC∥DP,再分别求得PD、BE的值,证明其相等,即可得出四边形PDBE为平行四边形的结论.
切线的性质;平行四边形的判定;相似三角形的判定与性质.
此题主要考查切线的性质、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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