我们知道,利用三角形全等可以证明两条线段相等.但是我们会碰到这样的“和差”问题:“如图①,AD为△ABC的高,∠ABC=2∠C,证明:CD=AB+BD”.我们可以用“截长、补短”的方法将这类问
题目
我们知道,利用三角形全等可以证明两条线段相等.但是我们会碰到这样的“和差”问题:“如图①,AD为△ABC的高,∠ABC=2∠C,证明:CD=AB+BD”.我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题:在CD上截取DE=BD,连结AE.
(1)请补写完这个证明:
(2)运用上述方法证明:如图②,AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,证明:BD=AC-AB.
答案
(1)证明:在CD上截取DE=BD,连结AE,
∵AD⊥BC,
∴AB=AE,
∴∠B=∠AEB,
∵∠B=2∠C,∠AEB=∠C+∠EAC,
∴∠C=∠EAC,
∴EC=AE=AB,
∴CD=CE+DE=AB+BD.
(2)证明:在AC上截取AE=AB,连接DE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
在△BAD和△EAD中
∴△BAD≌△EAD,
∴DE=BD,∠B=∠AED,
∵∠B=2∠C,∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC,
∴DE=EC=DB,
∵AC-AE=EC,EC=BD,AE=AB,
∴BD=AC-AB.
(1)在CD上截取DE=BD,连结AE,推出AB=AE,根据∠B=2∠C,∠AEB=∠C+∠EAC求出∠C=∠EAC,推出EC=AE=AB,即可得出答案.
(2)证△BAD≌△EAD,推出DE=BD,∠B=∠AED,推出∠C=∠EDC,求出DE=EC=DB,即可得出答案.
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