已知,在正方形ABCD中,AB=1,P为一个直角的顶点,让P在AC上滑动,直角的一边交BC于E,另一边交DC于F
题目
已知,在正方形ABCD中,AB=1,P为一个直角的顶点,让P在AC上滑动,直角的一边交BC于E,另一边交DC于F
(1)试问,PE,PF有何数量关系,并证明
(2)设AP=x,四边形PECF面积为y,求y与x的函数关系式
答案
(1)PE=PF
证明:当PE⊥BC,PF⊥DC时,容易得出PE=PF
当PE不垂直BC,PF不垂直DC时,
过P作PM⊥BC,PN⊥DC
∵角MPE+角EPN=90°,角EPN+角NPF=90°
∴角MPE=角NPF
∵PM=PN,角EMP=角FNP=90°
∴△EMP全等于△FNP
∴PE=PF
(2)当PE⊥BC,PF⊥DC时,容易得出y=x²/2-x根号2+1
当PE不垂直BC,PF不垂直DC时,
∵△EMP全等于△FNP
∴S△EMP=S△FNP
∴S四边形PECF=S□PMCN
∴y=x²/2-x根号2+1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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