过椭圆四分之一x方+y方=1的右焦点,做直线L交椭圆于M,N两点.且M,N到椭圆右准线的距离为根号3,求L

题目

过椭圆四分之一x方+y方=1的右焦点,做直线L交椭圆于M,N两点.且M,N到椭圆右准线的距离为根号3,求L

答案

设M(x1,y1),N(x2,y2),直线L的方程为x=√3或y=k(x-√3),M,N到直线x=4/√3的距离分别为d1,d2.
(1)若直线L的方程为x=√3,有x1=x2=√3,d1=d2=4/√3-√3=√3/3,
d1+d2=2√3/3≠√3,不合题设．
(2)若直线L的方程为y=k(x-√3),有
x^2+4k^2(x-√3)^2-4=0
整理得：(1+4k^2)x^2-8√3k^2x+12k^2-4=0
x1+x2=8√3k^2/(1+4k^2)
∵d1=4/√3-x1,d=4/√3-x2,d1+d2=√3
∴x1+x2=5/√3
∴8√3k^2/(1+4k^2)=5/√3
解得：k=±√5/2
∴直线L的方程为:y=±√5/2(x-√3),