设n阶非零方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式,证明:r(A)=n

题目

设n阶非零方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式,证明:r(A)=n

答案

由于A非0,所以必存在一元素a(kl)≠0.
再将|A|按第k行展开有
|A| = a(k1)M(k1)+ ...+a(kl)+...+a(kn)(Mkn)
=a(k1)²+...a(kl)²+...a(kn)²≠0
所以A可逆,r(A)=n