在等腰三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证：

题目

在等腰三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证：
（1）△BDE≌△CDF
（2）当∠A等于多少度时,四边形AEDF是正方形?证明你的结论
点D在BC上,A为顶角

答案

证明：（1）在等腰△ABC中,∠A为顶角,则AB＝AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,∴DE=DF,（等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等）又DB＝DC（已知）∴Rt△BDE≌Rt△CDF,(斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等)
（2）当∠A等于90度时,四边形AEDF为正方形.
∵CA⊥AB,DE⊥AB,∴DE‖CA,同理,DF‖AB,∴四边形AEDF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）又当∠A等于90度时,四边形AEDF为矩形（一角为直角的平行四边形是矩形）,再DE=DF,（已证）∴矩形AEDF为正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）.