在等腰三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:
题目
在等腰三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:
(1)△BDE≌△CDF
(2)当∠A等于多少度时,四边形AEDF是正方形?证明你的结论
点D在BC上,A为顶角
答案
证明:(1)在等腰△ABC中,∠A为顶角,则AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,∴DE=DF,(等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等)又DB=DC(已知)∴Rt△BDE≌Rt△CDF,(斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等)
(2)当∠A等于90度时,四边形AEDF为正方形.
∵CA⊥AB,DE⊥AB,∴DE‖CA,同理,DF‖AB,∴四边形AEDF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)又当∠A等于90度时,四边形AEDF为矩形(一角为直角的平行四边形是矩形),再DE=DF,(已证)∴矩形AEDF为正方形(一组邻边相等的矩形是正方形).
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