怎样证明可逆实对称矩阵A与A^-1合同?

题目

怎样证明可逆实对称矩阵A与A^-1合同?

答案

实矩阵合同的充分必要条件是正负惯性指数相同.
实对称矩阵可正交对角化
对角矩阵即矩阵的特征值
若λ是A的特征值,则 1/λ是A^-1的特征值
所以 A 合同于 (λ1,...,λn)
A^-1 合同于 (1/λ1,...,1/λn)
而 (λ1,...,λn) 与 (1/λ1,...,1/λn) 合同
所以 A与A^-1 合同.