数列an有极限,bn极限为0,an乘 bn 的极限怎么证

题目

数列an有极限,bn极限为0,an乘 bn 的极限怎么证
用数列极限定义证,要不我看不懂,呵呵.

答案

就是0
利用定义证明这题表述起来时相当复杂的
假定an的极限为A
那么,给定一个小数e1＞0,存在N1,使得n≥N1 时[an-A]≤e1 [ ]在这里代表括号
做不等式变形,n≥N1时 A-e1≤an≤A+e1
记max([A-e1],[A+e1])=B,
那么[an]≤B
其实到这一步就是在证明,n≥N1时,an的绝对值会小于一个数B
再证明anbn的极限为0
给定任意小的数e>0,
由于bn的极限为0,那么存在N2,n≥N2时,[bn]≤e/B
那么当n同时大于N1和N2时
[anbn-0]≤[B][e/B]=e
所以anbn的极限是0