线性代数中有关秩的证明

题目

线性代数中有关秩的证明
三阶矩阵A满足A*A=E且A不等于正负E
求证[r(A-E)-1]*[r(A+E)-1]=0

答案

引理：设A为n阶矩阵,且A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n.证法一：令U={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-E)x=0}为(A-E)的解集,则dim(U)=n-rank(A-E)；令V={x∈R^n|Ax=-x}={x∈R^n|(A+E)x=0}为(A+E)的解集,则dim(V)=n-rank(A+E).两式...