过点A(1,0)的直线与圆C:X^2 Y^2-6X-8Y 9=0交于两点P,Q,与直线L:X 2Y 4=0交于点N,若PQ的中点为M,求证;|AM|*|AN|为定值

题目

过点A(1,0)的直线与圆C:X^2 Y^2-6X-8Y 9=0交于两点P,Q,与直线L:X 2Y 4=0交于点N,若PQ的中点为M,求证;|AM|*|AN|为定值

答案

X^2+Y^2-6X-8Y+9=0
（x-3)^2+(y-4)^2=16
圆心C坐标为(3,4)
直线L:X+2Y+4=0
这种题,如果没巧妙的方法,对初中生简直就是折磨.巧妙方法是:
AM与AN在两个相似三角形中,基于这个思路,只有连接圆心和点A,延长到已知直线L,交点为P.
过圆心C(3,4)和A(1,0)的直线为:y=2x-2(自己会算吧?)
它与直线L垂直.垂足就是交点P,圆心到直线L的距离CP=CA+AP都为定值,且三角形AMC和三角形ANP相似,AN:AP=AC:AM
AN*AM=AP*AC是定值