如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F． 试说明： （1）△CBE≌△CDF； （2）AB+AD=2AF．

题目

如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．
试说明：

（1）△CBE≌△CDF；
（2）AB+AD=2AF．

答案

证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABC+∠D=180°
∴∠CBE=∠D，
在△CBE与△CDF中，

∠CBE＝∠D ∠BEC＝∠CFD CE＝CD

∴△CBE≌△CDF（AAS）；
         
（2）∵△CBE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠E=∠AFC=90°，
在Rt△AEC与Rt△AFC中，

AC＝AC CE＝CF

∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE=AF，
∴AB+AD=AE+AF，
∴AB+AD=2AF．

（1）根据角平分线性质得出CE=CF，求出∠CBE=∠D，根据AAS证两三角形全等即可；
（2）推出BE=DF，证Rt△AEC≌Rt△AFC，推出AE=AF，即可得出答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．