一道数学分析证明题,关于实数及其连续性定理的.

题目

一道数学分析证明题,关于实数及其连续性定理的.
f在[a,+∞)上可导,又{Xn}为各点互异数列,且满足f(Xn)=0,f'(Xn)0,n为任意正整数.证明：lim（Xn）=+∞ (n->+∞)

答案

略证如下：
若Xn有聚点,即存在收敛子列X‘n->r
f(X'n)=0,由中值定理得存在θn介于X'n两两之间使 f‘(θn)=0
易知 θn->r ,由f’(X‘n)≠0知 函数在 r 处导数不存在,与f在[a,+∞)矛盾
因此原数列无聚点,由条件知Xn->+∞ ■