如图，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是正三角形，∠CAB=90°，AB=2AC． （Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

题目

如图，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是正三角形，∠CAB=90°，AB=2AC．

（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

答案

（Ⅰ）∵平面PAC⊥平面ABC，∠CAB=90°，交线为AC；
∴AB⊥平面PAC                          
又∵PC⊂平面PAC，
∴AB⊥PC；
（Ⅱ）取AP的中点D，连接CD，DB．
 则CD⊥PA，
∵AB⊥平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC，
∵平面PAB∩平面PAC=PA，
∴CD⊥平面PAB，则∠CBD为所求线面角；                      …（10分）
由已知不妨设：AC=1，则CD=

3

2

，AB=2，BC=

5

      …（12分）
∴sin∠CBD=

CD

BC

=

15

10

，
即直线BC与平面PAB所成角的正弦值为

15

10

                  …（14分）

（Ⅰ）利用平面PAC⊥平面ABC，∠CAB=90°，交线为AC，证明AB⊥平面PAC，可得AB⊥PC；
（Ⅱ）取AP的中点D，连接CD，DB，证明∠CBD为所求线面角，即可求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

本题考点：A:直线与平面所成的角 B:直线与平面垂直的性质

考点点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．