如图,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是正三角形,∠CAB=90°,AB=2AC. (Ⅰ)求证:AB⊥PC;(Ⅱ)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.

如图,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是正三角形,∠CAB=90°,AB=2AC. (Ⅰ)求证:AB⊥PC;(Ⅱ)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.

题目
如图,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是正三角形,∠CAB=90°,AB=2AC.

(Ⅰ)求证:AB⊥PC;
(Ⅱ)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.
答案
(Ⅰ)∵平面PAC⊥平面ABC,∠CAB=90°,交线为AC;
∴AB⊥平面PAC                          
又∵PC⊂平面PAC,
∴AB⊥PC;
(Ⅱ)取AP的中点D,连接CD,DB.
 则CD⊥PA,
∵AB⊥平面PAC,∴平面PAB⊥平面PAC,
∵平面PAB∩平面PAC=PA,
∴CD⊥平面PAB,则∠CBD为所求线面角;                      …(10分)
由已知不妨设:AC=1,则CD=
3
2
,AB=2,BC=
5
      …(12分)
∴sin∠CBD=
CD
BC
=
15
10

即直线BC与平面PAB所成角的正弦值为
15
10
                  …(14分)
(Ⅰ)利用平面PAC⊥平面ABC,∠CAB=90°,交线为AC,证明AB⊥平面PAC,可得AB⊥PC;
(Ⅱ)取AP的中点D,连接CD,DB,证明∠CBD为所求线面角,即可求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.

A:直线与平面所成的角 B:直线与平面垂直的性质

本题考查平面与平面垂直的性质,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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