以圆环作为微分元,求球的表面积.
题目
以圆环作为微分元,求球的表面积.
我有两种思路,感觉很乱.
1:将求竖直切片,通过半径不等的微小圆环进行积分.
2:选取球的最大半径圆环为微分元,通过旋转得到球的表面积.
书上给的答案是:dS=2πrdl=2πrRdφ(φ角为r对应的球心与x轴半径R围成的角,dl表示的应该是φ角对应的弧长).这个答案我就看不懂.dS跟2πrdl有什么关系,2πrh不是圆柱的表面积公式吗?
最好是附上两种思路的详细解法.
我自己已经掌握了通过二重积分进行计算的简单算法,但是我不太明白.当以圆环作为微分元的时候应该怎样计算.
答案
你的第二种貌似不行
书上的是第一种,我喜欢横切片,其实是一样的,作图说明吧
你把横切片(红圈和篮圈之间的球面部分)展开铺平之后就近似于一个长方形,
长为2πr (红色圆的周长),高为dl=Rdφ
当然因为dl很小,或者说dφ很小,所以近似把蓝色的圆的半径也看成r,这样展开的就是一个长方形
![](http://h.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=e1208904b21c8701d6e3bae0174fb217/d53f8794a4c27d1e1d480c241ad5ad6edcc438e7.jpg)
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