若点P在直线2x+3y+10=0上,直线PA,PB分别与圆x^2+y^2=4相切于A,B两点,求四边形PAOB的面积S的最小值

题目

若点P在直线2x+3y+10=0上,直线PA,PB分别与圆x^2+y^2=4相切于A,B两点,求四边形PAOB的面积S的最小值
答得好加分.

答案

直角三角形OPA全等于直角三角形OPB四边形PAOB面积最小,
即直角三角形OPA(或OPB)最小
即可因为OA是半径,OA=2只要另一直角边PA最小,也只要斜边OP最小即可
因为P在直线2x+3y+10=0上
所以当OP垂直直线2x+3y+10=0时,OP最小,
即点O到直线2x+3y+10=0的距离最小OP=|2*0+3*0+10|/√(2^2+3^2)=10/√13
因为半径OA=2,且OA垂直PA
所以PA=√(OP^2-OA^2)=4√(3/13)
所以三角形OPA的面积=PA*OA/2=4√(3/13) * 2/2=4√(3/13)
所以四边形PAOB的面积S的最小值=2倍的三角形OPA的面积=2*4√(3/13)=8√(3/13)
8倍的根号13分之3