已知圆的方程x^2+y^2-4x+1=0,求x+y,yx的最值

题目

已知圆的方程x^2+y^2-4x+1=0,求x+y,yx的最值

答案

x²+y²-4x+1=0
x²-4x+4+y²=3
(x-2)²+y²=3
令x=2+√3cosa,y=√3sina
x+y=2+√3cosa+√3sina=2+√6sin(a+π/4)
当sin(a+π/4)=1时,x+y有最大值(x+y)max=2+√6；
当sin(a+π/4)=-1时,x+y有最小值(x+y)min=2-√6.
令y/x=k
y/x=√3sina/(2+√3cosa)=k
√3sina -√3kcosa=2k
√(3+3k²)sin(a-b)=2k 其中,tanb=k
sin(a-b)=2k/√(3+3k²)
-1≤sin(a-b)≤1
-1≤2k/√(3+3k²)≤1
-√(3+3k²)≤2k≤√(3+3k²)
4k²≤3k²+3
k²≤3
-√3≤k≤√3
y/x的最大值为√3；y/x的最小值为-√3.