△ABC与△BCD所在平面垂直,且AB =BC =BD,∠ABC =∠DBC = 120度,求二面角 A-BD-C的余弦值

题目

△ABC与△BCD所在平面垂直,且AB =BC =BD,∠ABC =∠DBC = 120度,求二面角 A-BD-C的余弦值
三角形ABC和三角形BCD是钝角三角形
最好有图

答案

过A作AE⊥CB延长线于E,连接DE
∵△ABC与△BCD所在平面垂直
面ABC∩面BCD=BC
∴AE⊥面BCD
∴AE⊥CE
AE⊥DE,AE⊥BD
∵AB =BC =BD,∠ABC =∠DBC = 120°
设AB=2
∴∠BAE=30°
∴BE=1
BD=2,∠DBE=60°
∴∠BED=90°
DE=AE=√3
过E作EF⊥BD于F,连接AF
∵AE⊥BD
∴BD⊥面AEF
∴BD⊥AF
∴∠AFE是二面角A-BD-E的平面角
EF=√3/2
∴AF=√15/2
cos∠AFE=EF/AF=√5/5
∵二面角 A-BD-C与二面角A-BD-E是补角
∴二面角 A-BD-C的余弦值=-√5/5