已知f（x）=1/（1+x）,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f（an）,若a2010=a2012,则a20+a11=?

题目

已知f（x）=1/（1+x）,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f（an）,若a2010=a2012,则a20+a11=?

答案

a(n+2)=f(an)=1/(1+an)
a2012=1/(1+a2010)=a2010
a2010²+a2010=1
(a2010+ 1/2)²=5/4
a2010=-(√5+1)/2 (<0,舍去)或a2010=(√5-1)/2
a2010=1/(1+a2008)
a2008 =1/a2010 -1=1/[(√5-1)/2] -1=(√5-1)/2=2010
…………
偶数项均为(√5-1)/2 a20=(√5-1)/2

a3=f(a1)=1/(1+a1)=1/(1+1)=1/2
a5=f(a3)=1/(1+a3)=1/(1+1/2)=2/3
a7=f(a5)=1/(1+a5)=1/(1+2/3)=3/5
a9=f(a7)=1/(1+a7)=1/(1+3/5)=5/8
a11=f(a9)=1/(1+5/8)=8/13

a20+a11=(√5 -1)/2 +8/13=√5/2 +3/26