如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4m/s的速度

题目

如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4m/s的速度
如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2√3cm/s的速度,沿A→C的路线向C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.
（1）在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N
①当t为何值时,点P、M、N在同一直线上?
②当点P、M、N不在一直线上时,是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t值；若不存在,请说明理由.

答案

（1） 若0＜t≤5,则AP＝4t,AQ＝23t.则 APAQ＝4t23t＝233 ,
又 ∵ AO＝103,AB＝20,∴ ABAO＝20103＝233 .
∴ APAQ＝AB AO,……1分 又 ∠CAB＝30°,∴ △APQ∽△ABO…………2分
∴ ∠AQP＝90°,即PQ⊥AC.…………………………………………………3分
当5＜t≤10时,同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°,即PQ⊥AC……4分
∴ 在点P、Q运动过程中,始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图,在RtAPM中,易知AM＝83t3,又AQ＝23t,
QM＝203－43t.………………………………………5分
由AQ＋QM＝AM 得23t＋203－43t＝83t3……6分
解得t＝307 ………………………………………………7分
∴ 当t＝307时,点P、M、N在一直线上.
② 存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1,当点N在AD上时,若PN⊥MN,则∠NMH＝30°.
∴ MH＝2NH,得 203－43t－23t3＝2×83t3 解得t＝2,…………9分
如图2,当点N在CD上时,若PM⊥MN,则∠HMP＝30°.
∴ MH＝2PH,同理可得t＝ 203 .……………………………………………10分
故 当t＝2或 203 时,存在以PN为一直角边的直角三角形.………………