lim(n→∞){n/（n^2+1）+n/（n^2+2^2）+.+n/（n^2+n^2）}求此式的极限?说明一下那是n除以n的平方加1,

题目

lim(n→∞){n/（n^2+1）+n/（n^2+2^2）+.+n/（n^2+n^2）}求此式的极限?说明一下那是n除以n的平方加1,
再加上个n除以n的平方加上2的平方一直加到n除以n的平方加上n的平方.

答案

原式=lim(n→∞)[(1/n)/(1+(1/n)^2)+(1/n)/(1+(2/n)^2)+...+(1/n)/(1+(n/n)^2)] （每项上下同时除以n^2）
=lim(n→∞)1/n*[1/(1+(1/n)^2)+1/(1+(2/n)^2)+...+1/(1+(n/n)^2)]
=∫(0→1)1/(1+x^2)dx （区间[0,1]的分点为i/n）
=arctanx|(0→1)
=π/4