利用二重积分计算3/x+y/4+z/12=1,x=0,y=0,z=0四个平面围成的体积

题目

利用二重积分计算3/x+y/4+z/12=1,x=0,y=0,z=0四个平面围成的体积

答案

把立体看作是一个曲顶柱体,曲顶是一个曲面z＝f(x,y)=12-4x-3y,底面是xy坐标面上的闭区域D
则体积V=∫∫(D)f(x,y)dxdy
=∫∫(D) (12-4x-3y)dxdy
底面是x=0,y=0,x/3+y/4=1围成的一个xy平面上的区域D
V=∫∫(D)f(x,y)dxdy
=∫∫(D) (12-4x-3y)dxdy
=∫(0→3)dx ∫(0→4-4x/3) (12-4x-3y)dy
=∫(0→3) [(12y-4xy-3y²/2)|(0→4-4x/3)]dx
=∫(0→3) [12(4-4x/3)-4x(4-4x/3)-3(4-4x/3)²/2]dx
=∫(0→3) (24-16x+8x²/3)dx
=24x-8x²+8x³/9 |(0→3)
=8x(x²/9-x+3) |(0→3)
=24