Δ ABC和Δ DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,角CBA=角DBC=120°,.AD的连线和平面BCD所成的角；

题目

Δ ABC和Δ DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,角CBA=角DBC=120°,.AD的连线和平面BCD所成的角；

答案

纯几何比较快
过点A作BC的垂线,垂足为E,连接DE
因为,面ABC⊥DBC
AE⊥BC
所以,AE⊥面DBC
所以,AE⊥DE
即,△AED是以∠E为直角的三角形
已知,AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°
设AB=BC=BD=a
则,由勾股定理有：AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ABC=a^2+a^2-2*a*a*(-1/2)=3a^2
所以,AC=√3a
同理,DC=√3a
且,在△ABC中,∠ACB=30°；在△DBC中,∠DCB=30°
所以,在△ACE和△DCE中：
AC=DC（已证）
∠ACB=∠DCB=30°（已证）
CE公共
所以,△ACE≌△DCE(SAS)
所以,∠AEC=∠DEC,AE=DE
那么,△AED为等腰直角三角形
所以,AD连线与面BCD所成的角为45°