已知a、b、c为正整数,且a²+b²=c²,a为质数,试说明：2（a+b+1)是完全平方数

题目

已知a、b、c为正整数,且a²+b²=c²,a为质数,试说明：2（a+b+1)是完全平方数

答案

a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为a是质数,那么a^2只有约数1,a,a^2
因为不可能是c+b=c-b=a
所以c+b=a^2,c-b=1
b=a^2-c=c-1
c=(a^2+1)/2
b=(a^2+1)/2-1=(a^2-1)/2
2（a+b+1）=2[a+(a^2-1)/2+1]=2a+a^2-1+2=(a+1)^2
所以：2（a+b+1)是完全平方数