三角形ABC中,AB<AC,AD、AE分别是BC边上的高和中线,且角BAD=角EAC,证明角BAC是直角

题目

三角形ABC中,AB<AC,AD、AE分别是BC边上的高和中线,且角BAD=角EAC,证明角BAC是直角

答案

分析：要想证明∠BAC为直角,即AE=EC+EB,由已知AD、AE分别是BC边上的高和中线,想到可添加辅助线构造等腰三角形

如图,过点E作BC的垂线与BA的延长线交于点F,连接CF,

由BE=EC与FE⊥BC,易知三角形FBC为等腰三角形,

∴∠BFE=∠CFE,

又因AD与FE均垂直BC,∴AD‖FE

∴∠BAD=∠BFE

∴∠BAD=∠CFE=∠EAC,

∴A E C F四点共圆,

∴∠ACE=∠AFE=∠BAD=∠EAC,

∴∠ACE=∠EAC,

∴AE=EC=BE

∴∠BAC=90•