已知数列｛ал｝,前n项和Sn=p^n+q(p不等于0且不等于1）,求证：数列为等比数列的充要条件为q=-1.

题目

已知数列｛ал｝,前n项和Sn=p^n+q(p不等于0且不等于1）,求证：数列为等比数列的充要条件为q=-1.
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答案

①q=-1时,Sn=p^n-1
n=1时,a1=p-1,
n≥2时,an=Sn-S(n-1)= p^n-1-( p^(n-1)-1)=(p-1) p^(n-1).
所以an=(p-1) p^(n-1) n∈N*.
此时数列是一个公比为p的等比数列.
②当数列为等比数列时,
则a1,a2,a3成等比数列.
a1=S1=p+q,
a2=S2-S1=P^2+q-( p+q)= P^2- p=P(P-1),
a3=S3-S2= P^3+q- (P^2+q)= P^3- P^2= P^2(P-1),
∵(a2)^2=a1a3
∴P²(P-1)²=(p+q)•P²(P-1)
∵p不等于0且不等于1,
∴p-1=p+q q=-1.