如果直线x+y+m=0与圆x^2+y^2=2交于相异两点A、B,O是坐标原点,|向量OA+OB|>|向量OA-OB|,那么实数m的取值范围

题目

如果直线x+y+m=0与圆x^2+y^2=2交于相异两点A、B,O是坐标原点,|向量OA+OB|>|向量OA-OB|,那么实数m的取值范围

答案

∵A、B都在直线x＋y＋m＝0上,即在y＝－x－m上.
∴可设点A、B的坐标分别是（a,－a--m）、（b,－b－m）.
∴向量OA＝（a,－a--m）、向量OB＝（b,－b－m）,
∴向量OA＋向量OB＝（a＋b,－a－b－2m）、向量OA－向量OB＝（a－b,b－a）,
∴｜向量OA＋向量OB｜＝√［（a＋b）^2＋（a＋b＋2m）^2］,
　｜向量OA－向量OB｜＝√［（a－b）^2＋（b－a）^2］＝√2｜a－b｜.
∴依题意,有：√［（a＋b）^2＋（a＋b＋2m）^2］＞√2｜a－b｜.
两边平方,得：
（a＋b）^2＋（a＋b＋2m）^2＞2（a－b）^2＝2（a＋b）^2＋4ab,
∴（a＋b＋2m）^2＞（a＋b）^2＋4ab.
联立：y＝－x－m、x^2＋y^2＝2,消去y,得：x^2＋（x＋m）^2＝2,
∴2x^2＋2mx＋m^2－2＝0.
显然,a、b是方程2x^2＋2mx＋m^2－2＝0的两根,∴由韦达定理,有：
a＋b＝－m、ab＝（m^2－2）/2.
将a＋b＝－m、ab＝（m^2－2）/2 代入到（a＋b＋2m）^2＞（a＋b）^2＋4ab中,得：
（－m＋2m）^2＞（－m）^2＋2（m^2－2）,∴m^2－2＜0,∴m^2＜2,∴－√2＜m＜√2.
∴满足条件的m的取值范围是（－√2,√2）.