设a>0,a≠1,f(x)=loga(x+√x^2+1),若方程f(x)=loga(2x+ak)有实数解,求k的取值范围.

题目

设a>0,a≠1,f(x)=loga(x+√x^2+1),若方程f(x)=loga(2x+ak)有实数解,求k的取值范围.

答案

x²+1>|x|≥x,x+√(x²+1)恒>0,对数函数定义域为R.
f(x)=loga(2x+ak)
x+√(x²+1)=2x+ak
√(x²+1)=x+ak
算术平方根恒非负,x+ak恒≥0
x≥-ak
x²+1=(x+ak)²
x²+1=x²+2akx+a²k²
2akx+a²k²=1
ak(2x+k)=1
k≠0
x=[1/(ak) -k]/2
[1/(ak) -k]/2≥-ak
ak²-2ak≤1
ak²-2ak+a≤a+1
a(k-1)²≤a+1
-(a+1)/a≤k-1≤(a+1)/a
-1/a≤k≤1/a +2