设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为f（x）=3/8x2，0＜x＜20，其他． （1）已知事件A={X＞a}和B={Y＞a}独立，且P（A∪B）=3/4，求a； （2）求1/X2数学期望．

题目

设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为f（x）=

3 8 x2，0＜x＜2 0，其他

．
（1）已知事件A={X＞a}和B={Y＞a}独立，且P（A∪B）=

3

4

，求a；
（2）求

1

X2

数学期望．

答案

（1）由题意可知：
P（A）=P（B），P（A∪B）=

3

4

，所以
2P（A）-[P（A）]²=

3

4

故P（A）=

1

2

，而
P{X＞a}=

∫

2 a

3

8

x2dx=

1

8

(8−a3)
a³=4，a＝

3	4

（2）E(

1

x2

)=

∫

2 0

1

x2

3

8

x2dx=

3

4

（1）已知X的概率密度函数，可以求出事件A的概率，而事件A={X＞a}和B={Y＞a}独立，可知A和B概率相等，联立两个等式，可以求出a；
（2）利用数学期望的基本性质，通过积分即可求出．

本题考点：数学期望的性质及其应用；两事件相互独立、互不相容和对立的区别．

考点点评：本题主要考查数学期望的性质及其应用，属于基础题．